授業科目名	数と三角関数
分類
時間割番号	CKI008 B
担当教員名	吉田　夏海
開講学期・曜日・時限	2Q・火・V	単位数	1
＜対象学生＞
2025以降入学生(教・医)であり、一応、予備知識は仮定しないが、三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。
＜授業の目的＞
数と三角関数について、種々な話題を扱うことで、数学の歴史の一端や考え方などを学ぶ。これらの学習を通じて論理的な思考力の涵養を図る。更に、Fourier級数にまで内容を進める。
＜本授業科目による獲得・涵養が特に期待されるコンピテンシー＞（能力・資質）
全学共通教育科目向け 記号 コンピテンシー（能力・資質） 説明   N-A 共通 論理的かつ柔軟に思考する力（思考） 問題を細分化して多面的・客観的にとらえ、専門分野や文理を問わない幅広い知識に基づき様々な観点から考察し、結果を筋道立てて根拠を示しながら説明できるようにすることで、論理的かつ状況の変化に対して柔軟に対応できる思考力を備える ◎
＜到達目標＞  到達目標とは
目標NO 説明 コンピテンシーとの対応 共通 1 問題に対して論理的に証明出来る様になること。 N-A 2 数学的に解析が出来る様になること。 N-A 3 多角的な視点を得る様になること。 N-A 4 課題に確り取り組むこと。 N-A
＜成績評価の方法＞
目標No 割合 評価の観点 1 30% 数学の歴史や数の論証力の強化。 2 30% 関数の微分積分学の計算力の増強。 3 20% 証明に対する理解。 4 20% 演習や反復練習。 合計 100%
＜授業の方法＞
オンライン授業を主とするが、対面授業もやる可能性がある。詳しくはcns等を通じて連絡する。
＜受講に際して・学生へのメッセージ＞
課題や演習には真面目にしっかり取り組むこと。数学の理解には反復練習が欠かせない。特に、復習はしっかり行うこと。三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。仮に三角関数に関するこれらの知識が無くとも、各自で独学や自習を行う様にすれば講義理解は十分に可能である。なお、進捗状況により、内容の変更もありうる。
＜テキスト＞
特になし
＜参考書＞
(未登録)
＜授業計画の概要＞
1 タイトル 完全数とMersenne数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 今回も数そのものの性質を探る話をする。前回は、友愛数(親和数)と約数関数に関する約数の総和公式等を話した。今回も素因数分解の復習から話を始める。前回の友愛数同様、完全数に関しても約数関数を用いてクリアに定義する。言葉で言えば、完全数とは、自然数で自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる数のことであった。Euclid「原論」第9巻の命題36での完全数と素数に関する有名な定理をまず紹介する。nを自然数とし、2のn乗から1引いた自然数をn番目のMersenne数と呼ぶが、このn番目のMersenne数が素数である(この時Mersenne素数と呼ぶ)時、n番目のMersenne素数に2のn-1乗した自然数を掛けた数が完全数になる、と言うものである。更にn番目のMersenne数が素数の時、自然数nもまた素数となる、対偶命題としては自然数nが素数ではない、即ち合成数であれば、対応するn番目のMersenne数もまた合成数となる。このことも証明する。但しその逆は一般には成立しない。即ち、pが素数だからと言って、対応するp番目のMersenne数が素数になるとは限らない。他方で、完全数であり尚且つ偶数でもある数は必ず、自然数nを用いて、n番目のMersenne素数に2のn-1乗した自然数を掛けた形で表現されることも紹介する。最後に、友愛数生成の法則の1つとしてEulerの法則が有ったが、これを軸にして素数と完全数の関係を探る。 2 タイトル 面積の話 事前学習 事後学習 高校数学での微分と積分の復習を前以てしておくこと。 授業内容 今回からは数そのものではなく、積分に関する話題となる。そもそも、面積とは何か。小学校の頃、三角形の面積は「(底辺)×(高さ)÷2」だった。何故だろうか。そもそも面積を考える上で何を基本に据えるべきなのか。ここから考えることにする。そして定積分の概念をここでは導いて行く。定積分(Riemann積分)を用いれば様々な図形の面積を求めることが可能となる。特に一番素朴な区分求積法によって導入する。積分と言えば微分の逆演算としての不定積分が有ったが、これとの関係も見る。実際に積分計算を行う上では区分求積法による計算は実際は面倒であるが、具体例等を紹介する。 3 タイトル 三角比と三角関数の積分 事前学習 事後学習 三角関数や指数関数等の性質やそれらの微分積分について前以て確認して置くこと。 授業内容 ここからはFourier解析(のほんの初歩)の話題に入って行く(最終回まで)。Fourier解析のアイディアは信号処理や画像処理等、様々な分野へ応用されている。Fourier解析の入り口であるFourier級数は基本的には正弦関数や余弦関数の微分積分が主である。ここではFourier解析を始めるに当たり、数学的な基本事項の簡単な解説を行う。周期関数、三角関数の直交性、広義積分が話題の中心である。Fourier級数を理解する最低限度の話をここでは行う。必ず反復練習すること。 4 タイトル Eulerの公式とBasel問題を軸に 事前学習 事後学習 解析学についてのやや進んだ知識が要求されるが、じっくり復習すること。 授業内容 Fourier級数は基本的には正弦関数や余弦関数の微分積分が主である。ここではFourier級数の前に、Taylor級数やMaclaurin級数に関して概観する。一定程度の解析学に関する知識が要求されるので難しいと感じた箇所は、ああそんなものか、で良い。三角関数は実はあるMaclaurin級数によって数学的に厳密に定義されることを紹介する。その上で数学史上最も美しい公式とされるEulerの公式を導く。更に、三角関数の無限乗積展開も与える。更に、正弦関数のMaclaurin級数展開と無限乗積展開からBasel問題を証明する。他方円周率πの1つの無限乗積表現であるWallisの公式(Wallis積)も示して置く。最後に複素指数関数の定義を与える。複素指数関数の定義式は一見不思議かも知れないが、実は我々がこれまでで知っている通常の実指数関数の自然な拡張になっている。この複素指数関数を認めれば数学で最も美しいと言われるEulerの公式が当たり前のものとなり、de Moivreの定理が単なる指数法則に過ぎないものとなることも分かる。 5 タイトル Fourier級数の概要 事前学習 事後学習 じっくり復習すること。 授業内容 ここではFourier解析の入り口としてのFourier級数のおこりに少し触れる。歴史的にはFourierが金属等の導体中の熱の伝導現象の解明に、温度勾配は常に高い方から低い方へ流れるというFourierの法則を見出し熱伝導方程式を導いた。その解は導体の各位地・各時刻における温度を示すものであり、熱伝導方程式は温度の方程式といって良い。周期2πを持つ周期関数は三角関数の1次結合で書ける、と言う当時としては斬新な考えの下、この熱伝導方程式の解を得た。今回は関数そのものの復習や、三角関数の1次結合が周期関数とはならないこともある点にも触れる。更には四方山話としてRiemannのζ関数の話も少し触れる。厳密な議論は困難な点が多いので細かい点は省略する。 6 タイトル 区分的に滑らかな関数 事前学習 事後学習 三角関数の微分積分が頻出するので、じっくり予習・復習すること。 授業内容 Fourier級数が収束する様な関数とはどんな関数か。単に、有界区間上定義された関数であると言うことや、あるいは非有界区間上定義された関数が周期関数 ( 周期は例えば2π ) である、と言うだけでは条件としては足りない。そこで「区分的に連続、区分的に滑らか」と言う考え方について知る必要が生じることとなる。特に第1種不連続点、またはジャンプ ( 跳躍点とも言う )、と言うものの概念が必須となる。周期2πで、更に定義域上連続かつ区分的に滑らかな関数はFourier級数展開が出来、その級数は収束する。更に展開前の関数と一致する。後は、具体的な計算を通じて実際にFourier級数展開を求める努力が求められる。中には面倒な計算も多いが、急がば回れと言う言葉がある。何度も反復練習をする ( 同じ問題を何度も解き直すだけでも効果は大である ) 中で、関数のグラフも何度も描きながら身に着けていくのが良いであろう。 7 タイトル Fourier余弦級数・正弦級数 事前学習 事後学習 じっくり復習すること。 授業内容 ここではFourier正弦・余弦級数の話に入る。特に関数の奇関数性、偶関数性に着目する。今回はレポート問題の中には計算力が多少要求される物もある。 8 タイトル 総復習 事前学習 事後学習 じっくり復習すること。 授業内容 これまでの内容についての総復習。 9 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 10 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 11 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 12 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 13 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 14 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 15 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 16 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 17 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 18 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 19 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 20 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 21 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 22 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 23 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 24 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 25 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 26 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 27 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 28 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 29 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 30 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容
＜前年度授業に対する改善要望等への対応＞
質問対応などで学生の疑問解消に努める。
＜備考＞
(未登録)