授業科目名	数と三角関数
分類
時間割番号	CKI008 A
担当教員名	吉田　夏海
開講学期・曜日・時限	1Q・火・V	単位数	1
＜対象学生＞
2025以降入学生(工・生)であり、一応、予備知識は仮定しないが、三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。
＜授業の目的＞
数と三角関数について、種々な話題を扱うことで、数学の歴史の一端や考え方などを学ぶ。これらの学習を通じて論理的な思考力の涵養を図る。更に、Fourier級数にまで内容を進める。
＜本授業科目による獲得・涵養が特に期待されるコンピテンシー＞（能力・資質）
全学共通教育科目向け 記号 コンピテンシー（能力・資質） 説明   N-A 共通 論理的かつ柔軟に思考する力（思考） 問題を細分化して多面的・客観的にとらえ、専門分野や文理を問わない幅広い知識に基づき様々な観点から考察し、結果を筋道立てて根拠を示しながら説明できるようにすることで、論理的かつ状況の変化に対して柔軟に対応できる思考力を備える ◎
＜到達目標＞  到達目標とは
目標NO 説明 コンピテンシーとの対応 共通 1 問題に対して論理的に証明出来る様になること。 N-A 2 数学的に解析が出来る様になること。 N-A 3 多角的な視点を得る様になること。 N-A 4 課題に確り取り組むこと。 N-A
＜成績評価の方法＞
目標No 割合 評価の観点 1 30% 数学の歴史や数の論証力の強化。 2 30% 関数の微分積分学の計算力の増強。 3 20% 証明に対する理解。 4 20% 演習や反復練習。 合計 100%
＜授業の方法＞
オンライン授業を主とするが、対面授業もやる可能性がある。詳しくはcns等を通じて連絡する。
＜受講に際して・学生へのメッセージ＞
課題や演習には真面目にしっかり取り組むこと。数学の理解には反復練習が欠かせない。特に、復習はしっかり行うこと。三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。仮に三角関数に関するこれらの知識が無くとも、各自で独学や自習を行う様にすれば講義理解は十分に可能である。なお、進捗状況により、内容の変更もありうる。
＜テキスト＞
特になし
＜参考書＞
必要に応じて授業の中で紹介
＜授業計画の概要＞
1 タイトル PythagorasとPythagoras学派 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 学生諸君の内で高校を卒業するまでに、ピタゴラスの名を耳にしなかった人は恐らくはいないであろう。ピタゴラスとは何か。ここから話を始めたい。Pythagorasは古代ギリシアの数学者であり、哲学者の元祖の様な人物である。歴史的には、日本で言えば弥生時代における話である。Pythagorasは自身の理念や思想の下、Pythagoras教団を創設した。そこでは有名な三平方の定理や無理数の発見等、当時として大変優れた数学的事実が見出された。 2 タイトル 三角数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。総和Σ記号の予習は確りして置くこと。 授業内容 図形数とは、一定の規則で図形状に並べられた点の総数のことである。ここでは図形数の一つである三角数及びその数列について考える。三角数とは、その名の通り、点を正三角形状に並べた時の点の総数である。特に4番目の三角数(=10)はPythagoras教団の団結の象徴であった。例えば、三角数を3で割った余りはどうなるか。三角数は図形数であるので、これを数式ではなく図形的に考える。次いで三角数の総和はどの様に表されるか。これは数式による計算で求めるにはややテクニック(中々思い付き難い、天下り的な方法である)を要する。これも図形的に解ける。 3 タイトル 四角数と四角錐数と立方数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 ここでは三角数に引き続き、図形数の典型例である四角数、四角錐数、立方数、及びその数列について考える。四角数とは、その名の通り、点を正方形状に並べた時の点の総数である。四角数は全て自然数を自乗(2乗)した形を取ることから平方数でもある。四角数の数列の総和は天下り的に導く例がよく知られているが、図形的に説明することも出来る。また四角数の数列の第n項までの総和は、実は四角錐数の一般項(第n項)でもある。四角錐数とは球を1段目に1つ、2段目に4つ、3段目に9つ、と順次、正四角錐状に積んだ際の球の総数である。四角数は平方数でもあった。つまり正方形の面積でもある。面積と来れば体積である。自然数の立方(3乗)で表される数を立方数と言うが、これは立方体の体積を表しもする。ここでは最後に立方数の数列の総和を図形的に求める。 4 タイトル Pascalの三角形 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。高校数学の二項定理（二項展開）を予め理解して置くこと。 授業内容 ここでは図形数の話題の関連でPascalの三角形(Pascalの算術三角形とも言い、この呼称は万国共通でなく国によって呼び名は様々ある)について考える。この三角形(正確には三角形状に数を並べた物)は、まず、最上段に1を配置し、次いで下の段の両端にも1を配置し、最後に両端以外には右上と左上の数の和を配置すると言う一連の操作を繰り返せば得られる。ここでは二項係数の話との関連や、Pascalの三角形の発見の歴史等も触れる。次にTartagliaの三角形の話題に移る。Tartagliaの三角形と呼ばれる物は、Pascalの三角形その物以外にもある。ここでは2種類挙げる。最後にLeibnizの調和三角形に関して簡単に触れる。 5 タイトル Pascalの算術三角形とSierpi？skiの三角形 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 Pascalの算術三角形の話題を続けることにした。Pascalの三角形には更に面白い数理構造が潜んでいる。このことを紹介する。今回は息抜きの絵画鑑賞の積りで学習すれば良い。今回は多くの図を教材に採り上げた故、手書きの資料ではない(手書きの資料も手間が掛かるが、此方も用意するのが大変)。Pascalの三角形の奇数部分に着目する。そして奇数部分を塗り潰して行くと、何が浮かび上がるか。違う三角形群が或る規則の下、浮かび上がって来はしないか。Sierpi？skiの三角形 ( Sierpi？skiのギャスケット等とも ) の模様が現れる。但し、Sierpi？skiのギャスケットは無限の規則性を有している、いわゆるフラクタル図形の1種である。フラクタル図形の類似は自然界に広く見られる。動物等の模様にも規則性 ( パターン ) を見出せるものが多いであろう。Sierpi？skiのギャスケット柄の典型例がイモガイの貝殻である。 6 タイトル 素数の話 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。素数の定義を事前に理解して置くこと。 授業内容 ここでは数そのものの性質を探る。数と言えば素数である。素数に関しても未解決な問題は数多く存在する。まず、小学校以来馴染んだ素数だが、約数、素因数分解、互いに素、最大公約数の復習から始める。文字通り、小学校レベルからのスタートとなるが、素数が無数に存在すると言うEuclidの定理へ繋げる。特に2000年以上前のEuclidの証明(Pythagoras並みに古い)や、ごく最近のSaidakによる証明を紹介する。最後に双子素数に関する未解決問題や、素数の分布に関する素数定理の紹介をする。 7 タイトル Pythagorasの定理とその周辺 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 前回から数そのものの性質を探る話をしている。前回は素数が無数に存在すると言うEuclidの定理や、その系として、互いに素な自然数の組も無数に存在すること、等の話をした。このことは既知として話を進めるので、自信のない人は、前回の講義資料も参照しつつ読み進めること。今回はPythagorasの定理の証明法を幾らか紹介する。Pythagorasの定理の平方和同士の関係式を満たす3組の自然数をPythagoras数と言い、その3組の自然数が互いに素であれば原始Pythagoras数と言う。原始Pythagoras数やPythagoras数は無数に存在する。このことをEuclidの定理やその系を援用して証明する。更に、Pythagoras数の構成原理に関しても導く。Berggrenによって、原始Pythagoras数にはツリー構造が有ることが知られて来た。これを原始Pythagoras数の木と呼ぶがこれも簡単に紹介する。最後にPythagoras数に関連したFermat予想に関して触れる。この予想は提唱されて後、約360年後にWilesによって肯定的に解決された。 8 タイトル 友愛数と約数関数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 前々回から数そのものの性質を探る話をしている。今回は、友愛数(親和数)を軸に議論する。まず、自然数の素因数分解の復習から話を始める。素因数分解の表現から、その自然数の全ての正の約数を求めることが出来たのであった。自然数nの正の約数の総和をσ(n)で表し、nの約数関数と呼ぶ。当然、σはnを固定する毎にσ(n)も自然数として対応する規則を成す。この意味でσは独立変数nの関数である。然し、各正の約数の並びを見れば、何らかの法則性が見えはしないであろうか。この法則性を援用することで、対応する約数関数σを綺麗に因数分解出来る。実は約数の総和公式として一般化される。約数の総和公式には色々な別表現が有るが、ここでは1つ紹介する。次に約数関数を用いて正確に友愛数(親和数)を定義する。尚、言葉で言えば、友愛数とは2つの異なった自然数の組で自分自身を除く約数の和が互いに他方と等しくなる数であった。友愛数の発見の歴史や友愛数生成の法則等も紹介する。最後に、未解決問題や婚約数(準友愛数)、拡大友愛数にも触れる。 9 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 10 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 11 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 12 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 13 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 14 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 15 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 16 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 17 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 18 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 19 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 20 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 21 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 22 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 23 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 24 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 25 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 26 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 27 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 28 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 29 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 30 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容
＜前年度授業に対する改善要望等への対応＞
質問対応などで学生の疑問解消に努める。
＜備考＞
(未登録)