授業科目名	数と三角関数
分類
時間割番号	CAN048
担当教員名	吉田　夏海
開講学期・曜日・時限	前期・金・III	単位数	2
＜対象学生＞
一応、予備知識は仮定しないが、三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。
＜授業の目的＞
数と三角関数について、種々な話題を扱うことで、数学の歴史の一端や考え方などを学ぶ。これらの学習を通じて論理的な思考力の涵養を図る。更に、Fourier級数にまで話を進める。
＜本授業科目による獲得・涵養が特に期待されるコンピテンシー＞（能力・資質）
全学共通教育科目向け 記号 コンピテンシー（能力・資質） 説明   A 共通 汎用能力 ３・数量的リテラシー さまざまな情報を統計学的手法などにより、数理的に表現・分析できる。 ○ B ４・論理的思考力 情報を多面的・客観的にとらえ、筋道を立てて根拠を示しながら説明できる。 ◎ C ５・問題解決力 構想力 多様な解決方法を案出・検討し、適切な方法を選択できる。 ○ D 省察力 取り組みを評価し、解決方法や計画を改善できる。 ○
＜到達目標＞  到達目標とは
目標NO 説明 コンピテンシーとの対応 共通 1 問題に対して論理的に証明出来る様になること。 A 2 数学的に解析が出来る様になること。 B 3 多角的な視点を得る様になること。 C 4 課題に確り取り組むこと。 D
＜成績評価の方法＞
目標No 割合 評価の観点 1 30% 数学の歴史や数の論証力の強化。 2 30% 関数の微分積分学の計算力の増強。 3 20% 証明に対する理解法。 4 20% 演習や反復練習。 合計 100%
＜授業の方法＞
コロナ禍の影響に応じてオンライン授業（オンデマンド型）を主とするが、対面授業もやる可能性あり
＜受講に際して・学生へのメッセージ＞
真面目にしっかり取り組み、手を抜かない。結果は努力した事柄についてくる。数学の理解には反復練習が欠かせない。特に、復習はしっかり行うこと。三角関数の定義や性質、三角関数の微分積分に対する知識を有している方が良い。仮に三角関数に関するこれらの知識が無くとも、各自で独学や自習を行う様にすれば講義理解は十分に可能である。なお、進捗状況により、内容の変更もありうる。
＜テキスト＞
特になし
＜参考書＞
必要に応じて授業の中で紹介
＜授業計画の概要＞
1 タイトル PythagorasとPythagoras学派 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 学生諸君の内で高校を卒業するまでに、ピタゴラスの名を耳にしなかった人は恐らくはいないであろう。ピタゴラスとは何か。ここから話を始めたい。Pythagorasは古代ギリシアの数学者であり、哲学者の元祖の様な人物である。歴史的には、日本で言えば弥生時代における話である。Pythagorasは自身の理念や思想の下、Pythagoras教団を創設した。そこでは有名な三平方の定理や無理数の発見等、当時として大変優れた数学的事実が見出された。 2 タイトル 三角数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。総和Σ記号の予習は確りして置くこと。 授業内容 図形数とは、一定の規則で図形状に並べられた点の総数のことである。ここでは図形数の一つである三角数及びその数列について考える。三角数とは、その名の通り、点を正三角形状に並べた時の点の総数である。特に4番目の三角数(=10)はPythagoras教団の団結の象徴であった。例えば、三角数を3で割った余りはどうなるか。三角数は図形数であるので、これを数式ではなく図形的に考える。次いで三角数の総和はどの様に表されるか。これは数式による計算で求めるにはややテクニック(中々思い付き難い、天下り的な方法である)を要する。これも図形的に解ける。 3 タイトル 四角数と四角錐数と立方数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 ここでは三角数に引き続き、図形数の典型例である四角数、四角錐数、立方数、及びその数列について考える。四角数とは、その名の通り、点を正方形状に並べた時の点の総数である。四角数は全て自然数を自乗(2乗)した形を取ることから平方数でもある。四角数の数列の総和は天下り的に導く例がよく知られているが、図形的に説明することも出来る。また四角数の数列の第n項までの総和は、実は四角錐数の一般項(第n項)でもある。四角錐数とは球を1段目に1つ、2段目に4つ、3段目に9つ、と順次、正四角錐状に積んだ際の球の総数である。四角数は平方数でもあった。つまり正方形の面積でもある。面積と来れば体積である。自然数の立方(3乗)で表される数を立方数と言うが、これは立方体の体積を表しもする。ここでは最後に立方数の数列の総和を図形的に求める。 4 タイトル Pascalの三角形 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。高校数学の二項定理（二項展開）を予め理解して置くこと。 授業内容 ここでは図形数の話題の関連でPascalの三角形(Pascalの算術三角形とも言い、この呼称は万国共通でなく国によって呼び名は様々ある)について考える。この三角形(正確には三角形状に数を並べた物)は、まず、最上段に1を配置し、次いで下の段の両端にも1を配置し、最後に両端以外には右上と左上の数の和を配置すると言う一連の操作を繰り返せば得られる。ここでは二項係数の話との関連や、Pascalの三角形の発見の歴史等も触れる。次にTartagliaの三角形の話題に移る。Tartagliaの三角形と呼ばれる物は、Pascalの三角形その物以外にもある。ここでは2種類挙げる。最後にLeibnizの調和三角形に関して簡単に触れる。 5 タイトル Pascalの算術三角形とSierpi？skiの三角形 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 Pascalの算術三角形の話題を続けることにした。Pascalの三角形には更に面白い数理構造が潜んでいる。このことを紹介する。今回は息抜きの絵画鑑賞の積りで学習すれば良い。今回は多くの図を教材に採り上げた故、手書きの資料ではない(手書きの資料も手間が掛かるが、此方も用意するのが大変)。Pascalの三角形の奇数部分に着目する。そして奇数部分を塗り潰して行くと、何が浮かび上がるか。違う三角形群が或る規則の下、浮かび上がって来はしないか。Sierpi？skiの三角形 ( Sierpi？skiのギャスケット等とも ) の模様が現れる。但し、Sierpi？skiのギャスケットは無限の規則性を有している、いわゆるフラクタル図形の1種である。フラクタル図形の類似は自然界に広く見られる。動物等の模様にも規則性 ( パターン ) を見出せるものが多いであろう。Sierpi？skiのギャスケット柄の典型例がイモガイの貝殻である。 6 タイトル 素数の話 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。素数の定義を事前に理解して置くこと。 授業内容 ここでは数そのものの性質を探る。数と言えば素数である。素数に関しても未解決な問題は数多く存在する。まず、小学校以来馴染んだ素数だが、約数、素因数分解、互いに素、最大公約数の復習から始める。文字通り、小学校レベルからのスタートとなるが、素数が無数に存在すると言うEuclidの定理へ繋げる。特に2000年以上前のEuclidの証明(Pythagoras並みに古い)や、ごく最近のSaidakによる証明を紹介する。最後に双子素数に関する未解決問題や、素数の分布に関する素数定理の紹介をする。 7 タイトル Pythagorasの定理とその周辺 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 前回から数そのものの性質を探る話をしている。前回は素数が無数に存在すると言うEuclidの定理や、その系として、互いに素な自然数の組も無数に存在すること、等の話をした。このことは既知として話を進めるので、自信のない人は、前回の講義資料も参照しつつ読み進めること。今回はPythagorasの定理の証明法を幾らか紹介する。Pythagorasの定理の平方和同士の関係式を満たす3組の自然数をPythagoras数と言い、その3組の自然数が互いに素であれば原始Pythagoras数と言う。原始Pythagoras数やPythagoras数は無数に存在する。このことをEuclidの定理やその系を援用して証明する。更に、Pythagoras数の構成原理に関しても導く。Berggrenによって、原始Pythagoras数にはツリー構造が有ることが知られて来た。これを原始Pythagoras数の木と呼ぶがこれも簡単に紹介する。最後にPythagoras数に関連したFermat予想に関して触れる。この予想は提唱されて後、約360年後にWilesによって肯定的に解決された。 8 タイトル 友愛数と約数関数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 前々回から数そのものの性質を探る話をしている。今回は、友愛数(親和数)を軸に議論する。まず、自然数の素因数分解の復習から話を始める。素因数分解の表現から、その自然数の全ての正の約数を求めることが出来たのであった。自然数nの正の約数の総和をσ(n)で表し、nの約数関数と呼ぶ。当然、σはnを固定する毎にσ(n)も自然数として対応する規則を成す。この意味でσは独立変数nの関数である。然し、各正の約数の並びを見れば、何らかの法則性が見えはしないであろうか。この法則性を援用することで、対応する約数関数σを綺麗に因数分解出来る。実は約数の総和公式として一般化される。約数の総和公式には色々な別表現が有るが、ここでは1つ紹介する。次に約数関数を用いて正確に友愛数(親和数)を定義する。尚、言葉で言えば、友愛数とは2つの異なった自然数の組で自分自身を除く約数の和が互いに他方と等しくなる数であった。友愛数の発見の歴史や友愛数生成の法則等も紹介する。最後に、未解決問題や婚約数(準友愛数)、拡大友愛数にも触れる。 9 タイトル 完全数とMersenne数 事前学習 事後学習 復習を確り行うこと。 授業内容 今回も数そのものの性質を探る話をする。前回は、友愛数(親和数)と約数関数に関する約数の総和公式等を話した。今回も素因数分解の復習から話を始める。前回の友愛数同様、完全数に関しても約数関数を用いてクリアに定義する。言葉で言えば、完全数とは、自然数で自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる数のことであった。Euclid「原論」第9巻の命題36での完全数と素数に関する有名な定理をまず紹介する。nを自然数とし、2のn乗から1引いた自然数をn番目のMersenne数と呼ぶが、このn番目のMersenne数が素数である(この時Mersenne素数と呼ぶ)時、n番目のMersenne素数に2のn-1乗した自然数を掛けた数が完全数になる、と言うものである。更にn番目のMersenne数が素数の時、自然数nもまた素数となる、対偶命題としては自然数nが素数ではない、即ち合成数であれば、対応するn番目のMersenne数もまた合成数となる。このことも証明する。但しその逆は一般には成立しない。即ち、pが素数だからと言って、対応するp番目のMersenne数が素数になるとは限らない。他方で、完全数であり尚且つ偶数でもある数は必ず、自然数nを用いて、n番目のMersenne素数に2のn-1乗した自然数を掛けた形で表現されることも紹介する。最後に、友愛数生成の法則の1つとしてEulerの法則が有ったが、これを軸にして素数と完全数の関係を探る。 10 タイトル 面積の話 事前学習 事後学習 高校数学での微分と積分の復習を前以てしておくこと。 授業内容 今回からは数そのものではなく、積分に関する話題となる。そもそも、面積とは何か。小学校の頃、三角形の面積は「(底辺)×(高さ)÷2」だった。何故だろうか。そもそも面積を考える上で何を基本に据えるべきなのか。ここから考えることにする。そして定積分の概念をここでは導いて行く。定積分(Riemann積分)を用いれば様々な図形の面積を求めることが可能となる。特に一番素朴な区分求積法によって導入する。積分と言えば微分の逆演算としての不定積分が有ったが、これとの関係も見る。実際に積分計算を行う上では区分求積法による計算は実際は面倒であるが、具体例等を紹介する。 11 タイトル 三角比と三角関数の積分 事前学習 事後学習 三角関数や指数関数等の性質やそれらの微分積分について前以て確認して置くこと。 授業内容 ここからはFourier解析(のほんの初歩)の話題に入って行く(最終回まで)。Fourier解析のアイディアは信号処理や画像処理等、様々な分野へ応用されている。Fourier解析の入り口であるFourier級数は基本的には正弦関数や余弦関数の微分積分が主である。ここではFourier解析を始めるに当たり、数学的な基本事項の簡単な解説を行う。周期関数、三角関数の直交性、広義積分が話題の中心である。Fourier級数を理解する最低限度の話をここでは行う。必ず反復練習すること。 12 タイトル Eulerの公式とBasel問題を軸に 事前学習 事後学習 解析学についてのやや進んだ知識が要求されるが、じっくり復習すること。 授業内容 Fourier級数は基本的には正弦関数や余弦関数の微分積分が主である。ここではFourier級数の前に、Taylor級数やMaclaurin級数に関して概観する。一定程度の解析学に関する知識が要求されるので難しいと感じた箇所は、ああそんなものか、で良い。三角関数は実はあるMaclaurin級数によって数学的に厳密に定義されることを紹介する。その上で数学史上最も美しい公式とされるEulerの公式を導く。更に、三角関数の無限乗積展開も与える。更に、正弦関数のMaclaurin級数展開と無限乗積展開からBasel問題を証明する。他方円周率πの1つの無限乗積表現であるWallisの公式(Wallis積)も示して置く。最後に複素指数関数の定義を与える。複素指数関数の定義式は一見不思議かも知れないが、実は我々がこれまでで知っている通常の実指数関数の自然な拡張になっている。この複素指数関数を認めれば数学で最も美しいと言われるEulerの公式が当たり前のものとなり、de Moivreの定理が単なる指数法則に過ぎないものとなることも分かる。 13 タイトル Fourier級数の概要 事前学習 事後学習 じっくり復習すること。 授業内容 ここではFourier解析の入り口としてのFourier級数のおこりに少し触れる。歴史的にはFourierが金属等の導体中の熱の伝導現象の解明に、温度勾配は常に高い方から低い方へ流れるというFourierの法則を見出し熱伝導方程式を導いた。その解は導体の各位地・各時刻における温度を示すものであり、熱伝導方程式は温度の方程式といって良い。周期2πを持つ周期関数は三角関数の1次結合で書ける、と言う当時としては斬新な考えの下、この熱伝導方程式の解を得た。今回は関数そのものの復習や、三角関数の1次結合が周期関数とはならないこともある点にも触れる。更には四方山話としてRiemannのζ関数の話も少し触れる。厳密な議論は困難な点が多いので細かい点は省略する。 14 タイトル 区分的に滑らかな関数 事前学習 事後学習 三角関数の微分積分が頻出するので、じっくり予習・復習すること。 授業内容 Fourier級数が収束する様な関数とはどんな関数か。単に、有界区間上定義された関数であると言うことや、あるいは非有界区間上定義された関数が周期関数 ( 周期は例えば2π ) である、と言うだけでは条件としては足りない。そこで「区分的に連続、区分的に滑らか」と言う考え方について知る必要が生じることとなる。特に第1種不連続点、またはジャンプ ( 跳躍点とも言う )、と言うものの概念が必須となる。周期2πで、更に定義域上連続かつ区分的に滑らかな関数はFourier級数展開が出来、その級数は収束する。更に展開前の関数と一致する。後は、具体的な計算を通じて実際にFourier級数展開を求める努力が求められる。中には面倒な計算も多いが、急がば回れと言う言葉がある。何度も反復練習をする ( 同じ問題を何度も解き直すだけでも効果は大である ) 中で、関数のグラフも何度も描きながら身に着けていくのが良いであろう。 15 タイトル Fourier余弦級数・正弦級数 事前学習 事後学習 じっくり復習すること。 授業内容 ここではFourier正弦・余弦級数の話に入る。特に関数の奇関数性、偶関数性に着目する。今回はレポート問題の中には計算力が多少要求される物もある。 16 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 17 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 18 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 19 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 20 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 21 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 22 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 23 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 24 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 25 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 26 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 27 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 28 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 29 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容 30 タイトル 事前学習 事後学習 授業内容
＜備考＞
(未登録)