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授業科目名 微分方程式
時間割番号 EEM222
担当教員名 吉田　夏海
開講学期・曜日・時限 後期・月・IV 単位数 2
＜対象学生＞
「微分積分学Ｉ・ＩＩ」、「関数と数列」の理解が確り出来ている点が望まれる。
＜授業の目的＞
常微分方程式とは1つの独立変数を持つ未知函数、及びその（常）微分からなる関係式を常微分方程式と言う。その関係式から、未知関数を求める（解を得る）ことを、方程式を解く、と言う。特に、微分を含んだ方程式であるので、通常は積分すると言う操作なしには、解を得ることは出来ない。この常微分方程式論を含む関数方程式論は、物理学や工学と相互作用を及ぼし合いながら発展して来た。例えば単振動の運動を記述する方程式は2階常微分方程式で記述される。前半は主に、1階線形・非線形常微分方程式の種々の解法について考えて行く。後半は主に、高階線形常微分方程式の解の構造や一般解の構成について考えて行く。
＜本授業科目による獲得・涵養が特に期待されるコンピテンシー＞（能力・資質）
教育学部向け
記号コンピテンシー（能力・資質） 
A専門教科等の専門教養取得見込みの教員免許に対応する教科の目標や内容に関する知識を習得している。◎
B持続的変態力教師として学び続ける意志と課題探求力を身につけている。○
＜到達目標＞  到達目標とは
目標NO説明コンピテンシーとの対応
教育
11階線形・非線形常微分方程式の種々の解法の理解。A
2高階線形常微分方程式の解の構造や一般解の構成の理解。B
＜成績評価の方法＞
目標No割合評価の観点
150%確りと復習し反復練習が肝要。
250%確りと復習し反復練習が肝要。
合計100% 
＜授業の方法＞
対面での講義を予定しているがコロナ禍の状況によってはオンデマンド型の講義となり得る。対面の場合は、出席者は、必ずマスクを着用の上、着席間の距離は1m以上離して貰う。また、換気のため窓を開放して行うことが有り得るので、寒さ対策を行う様に。講義前後に手洗い・手指消毒を必ず行うこと。オンデマンド型の講義の場合は、詳細に解説した講義資料や演習課題、関連資料などの必要事項をMoodleにアップロードするので、レポート課題の提出を行うこと。課題の提出状況や出来に応じて成績の評価を行う。
＜受講に際して・学生へのメッセージ＞
「微分積分学Ｉ・ＩＩ」、「関数と数列」の理解無しには本講義の理解は実に難しいものと考えて良い。従って本講義受講の前に、これらの復習を確り行って置くこと。更に「集合と写像」、「線形代数学Ｉ・ＩＩ」を復習して置けば理解が一層進む。
＜テキスト＞
  1. 特に指定しない。
＜参考書＞
  1. 必要に応じて紹介する。
＜授業計画の概要＞
1タイトル常微分方程式
事前学習
事後学習		「微分積分学Ｉ・ＩＩ」、「関数と数列」は確り復習してあるのを前提とする。その上で本講義の復習を確り行うこと。
授業内容そもそも微分方程式とは何か。函数(関数とも)の微分が函数自体に依存する時、この関係式のことを微分方程式と言う。関係式と言っても、微分「方程式」、即ち方程式であるので、「函数の微分が函数自体に依存する関係式」を満たすような函数(未知函数と言う)を求めよ、存在について議論せよ、と言う気持ちが籠る。未知函数の独立変数が1つの場合、未知関数の微分は通常の(常)微分であるので、関係式は常微分方程式、独立変数が2つ以上の場合、微分としては偏微分を考えることになるので偏微分方程式と呼んで区別する。最初はy=y(x)を未知函数とする最も簡単な常微分方程式y'=yを軸として様々な解法を紹介する。具体的には変数分離法、指数函数を掛けて計算する方法、級数解法、或いは対象とする微分方程式に初期条件を与えた初期値問題に対する、Picardの逐次近似法である(他にも解法は幾つも有るが)。
2タイトル演習問題
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容第1回目ではy=y(x)を未知函数とする最も簡単な常微分方程式y'=yを軸として、変数分離法、指数函数を掛けて計算する方法、級数解法、或いは対象とする微分方程式に初期条件を与えた初期値問題に対する、Picardの逐次近似法を紹介したが、これらの方法に対する演習がここでの内容である。
3タイトル数学モデル
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでは微分方程式に密接に関係する数学モデル(数理モデル)について考える。「数学モデル(数理モデル)」とは物理学・工学等に現れる自然現象や人口の増加現象、金融論・経済学等に現れる現象を数学の言葉である数式を用いて表したもののことを言う。この様な様々な現象に対して、単純化した仮定を多く立て、数学上の問題に置き換えることを「数学モデルを立てる」と言う。特に時間と共に変化する現象を記述し理解するためには微分方程式が有効である(他にも差分方程式、微分差分方程式、積分方程式、積分微分方程式等様々である)。ここでは数学モデルとして最も基本的な2種類を挙げる。1つ目は放射性崩壊を記述する微分方程式である。通常、不安定な原子核は崩壊(壊変)して他のより安定な原子核になる。時間と共にどの様に崩壊するかが問題である。放射性元素の単位時間当たりに崩壊する個数を崩壊速度(-dN/dtと表す、なおその絶対値|dN/dt|を放射能と呼ぶ)と呼ぶが、崩壊速度は、その時点での放射性元素の個数(N=N(t))に比例すると仮定出来る。この仮定の下、比例定数をλ(崩壊定数と呼び、その逆数τ=1/λを平均寿命と呼ぶ)とすると、放射性崩壊を記述する微分方程式-dN/dt=λNを得る。ここで初期時刻を0としその時刻での放射性元素の数をN_0とすると、初期条件としてN(0)=N_0を課することになる。この初期値問題はすぐ解けて、解はN(t)=N_0e^(-λt)となる。即ち、放射性崩壊は時間と共に指数函数的に減衰することが、この数学モデルから知ることが出来る訳である。更に応用例の1つとして逐次崩壊に関しても触れる(こちらは方程式としては連立常微分方程式(常微分方程式系とも)となる)。2つ目は人口増加を記述する微分方程式である。Malthusの「人口論」によれば、単位時間当りの人口増加量(dN/dtと表す)は人口そのもの(N=N(t))に比例する、である。つまり人口が多ければ親となる人の人数も増える。つまり単位時間当りの人口増加量もそのことに比例して増大する、と言う考え方である。比例定数をr(人口増加率、Malthus係数と呼ぶ)とすると、Malthusの人口増加の微分方程式dN/dt=rN(Malthusモデルとも言う)を得る。これは先程の放射性崩壊を記述する微分方程式で-λ<0をr>0に置き換えたものに他ならない。時刻0での初期人口をN_0と、初期条件N(0)=N_0の下、解はN(t)=N_0e^(-rt)と求まる。つまり、時間と共に人口が指数函数的に増大することが分かる。然しこのままでは無制限に人口は増大することになるが、環境や資源の有限性による資源の取り合い(種内競合)や病気の罹患等の様々な要因からこの様なことは現実的でない。つまり人口増加にはある時点でブレーキがかかり、飽和状態となる、と考えるのが自然である。この考えの下、VerhulstはMalthusモデルの人口増加率を修正し、VerhulstモデルdN/dt=r(1-N/K)N(ロジスティック方程式とも)を提唱した。これは1階非線形常微分方程式であるが変数分離法等で容易に解ける。
4タイトル変数分離法
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでは既に紹介した変数分離法について、より詳しく考えて行く。x'=dx/dt=F(t,x)の形の常微分方程式を正規形と呼ぶ。2変数函数F=F(t,x)が変数がtのみからなる函数f=f(t)及び変数がyのみからなる函数g=g(x)によってF(t,x)=f(t)g(x)と変数分離形で表される時、正規形の常微分方程式y'=f(t)g(x)は変数分離形であると言う。変数分離形であれば必ず解ける(求積可能である、と言う)。大切なことは変数分離形であれば方程式が線形でなくとも、非線形であっても求積可能である、と言う点である。その際に、一般的に解は陰函数表示となる。最後に応用例として、非線形積分方程式(一般的には求積不能だが、ここでは解ける例題として)の例題の解法も紹介する。
5タイトル変数変換の方法
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでは前回に引き続き、1階の正規形の方程式y'=F(t,y)で、F(t,y)=f(y/t)となる場合を考える。つまり、y'の右辺がy/tを1つの独立変数と見て、y/tにのみ依存する場合、この正規形の方程式は同次形であると言う。同次形y'=f(y/t)はu=y/tと変数変換することによって必ず変数分離形u'={f(u)-u}/tに帰着される。後は変数分離法を適用すれば必ず解ける。一方でa,b,cを定数として、F(t,y)=f(at+by+c)となる場合、即ち常微分方程式y'=f(at+by+c)もまた、変数変換u=at+by+cを行うことで求積可能である。実際にこの変数変換の下、u'=a+bf(u)と変数分離形に帰着される。
6タイトル非同次形の場合
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでも前回に引き続き、1階の正規形の方程式y'=F(t,y)の方程式を扱う。特に、F(t,y)=f(y/t)となる場合を同次形の方程式であると言った。同次形y'=f(y/t)はu=y/tと変数変換することによって必ず変数分離形u'={f(u)-u}/tに帰着され、後は変数分離法を適用すれば必ず解けたのであった。では同次形でない場合は如何か、これを考えて見る。例えばy'=f((At+By+C)/(αt+βy+γ))の形の1階常微分方程式が一般には「非同次」の場合となる(A,B,C,α,β,γは皆定数とする)。実際に分子の第3項目の定数項Cと分母の第3項目の定数項γはtとyについては0次の項であり、他の項は1次の項である。従ってCとγの内少なくとも一方が0でない場合、非同次となる訳である。この場合も実は必ず解ける。変数変換t=T+t_0,y=Y+y_0(この場合は平行移動)を行えばy'=f((A(T+t_0)+B(Y+y_0)+(At_0+By_0+C))/(α(T+t_0)+β(Y+y_0)+(αt_0+βy_0+γ)))、分母・分子の0次の項を消すことを考えれば良い。0次の項を消したい訳であるから変数変換の下、分母・分子の0次の項At_0+By_0+C,αt_0+βy_0+γを共に0と置く。この時、t_0,y_0を独立変数と見た2元連立1次方程式At_0+By_0+C=0,αt_0+βy_0+γ=0が得られることになる。この2元連立1次方程式が解(t_0,y_0)を持つか否かで場合分けを行う訳である(線形代数学の復習である)。解(t_0,y_0)が有ればAt_0+By_0+C=αt_0+βy_0+γ=0となり、y'=f((A(T+t_0)+B(Y+y_0))/(α(T+t_0)+β(Y+y_0)))と同次形に帰着され、問題無く解ける。解が無くとも上手く変数変換を行うことで矢張り、変数分離形に帰着され、必ず解ける。
7タイトル全微分方程式
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容前回は1階の正規形の常微分方程式y'=F(t,y)でy'=f((At+By+C)/(αt+βy+γ))(A,B,C,α,β,γは皆定数とする)と言うタイプの非同次の場合を扱った。ここでは全微分の形で表される方程式、即ち「全微分方程式」を考えて行く。まず2変数函数に対する「全微分」の定義を簡単に復習する(詳細は各自で微分積分学の教科書等でじっくり復習すること)。1階非同次形の方程式-dy/dx=(x^3+2xy+y)/(y^3+x^2+x)は全微分の考え方を用いて(y^3+x^2+x)dy+(x^3+2xy+y)dx=0と全微分の形で表すことが出来る。一般にP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0の形の方程式を全微分方程式と呼ぶ。これは一般には求積不能だが解ける場合も有る訳である。どんな場合に解けるか。du=P(x,y)dx+Q(x,y)dyとなる様な函数uが見付かれば解ける。この様な函数uが見付かる必要十分条件が∂P/∂y=∂Q/∂xが成立することである。また∂P/∂y=∂Q/∂xを満たす全微分方程式P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0を「完全微分方程式」と呼ぶ。完全微分方程式は必ず解ける。但し、∂P/∂y=∂Q/∂xそのものを満足しない場合でも解けることはそれなりに有る。実際に∂P/∂y≠∂Q/∂xだがある2変数函数M(x,y)を巧く選んで来ることで∂(MP)/∂y=∂(MQ)/∂xを満たしたとすると、これも解ける。この様な函数Mを「積分因子」と呼ぶ。尚、積分因子Mの見つけ方は何通りも有る点に留意する。
8タイトル定数変化法
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでは再度1階線形常微分方程式に話を戻す。変数係数1階非同次線形常微分方程式y'+a(x)y=b(x)の解法は既に幾つか紹介した。実際に係数a(x)に注目してe^{∫a(x)dx}を辺々掛けて積の微分公式も用いれば解けた。然し高尾では改めてこの方程式を見直すことにする。変数係数1階非同次線形常微分方程式y'+a(x)y=b(x)の一般解を求めるためにまずはこれに対応する同次方程式y'+a(x)y=0(非同次項b(x)≡0の場合)の一般解を求めることを試しに考える。これは変数分離法等でサッサと求まり、一般解y(x)=Ae^{-∫a(x)dx}を得る。但しAは任意定数である。この解の表現を用いて元々欲しかった非同次方程式y'+a(x)y=b(x)の解を探そう、と言う訳である。どう考えるかだが、任意「定数」Aを「函数」だと思い直すことにする。即ちA=A(x)だと試しに思い直し、y'+a(x)y=b(x)を満たす様に未知函数A(x)を決定することで、元々欲しかったy'+a(x)y=b(x)の一般解を得ようと言う訳である。この様に定数を未知函数に変化させて解を求める方法を「(Lagrangeの)定数変化法」と呼ぶ。このアイディアも大変重要である。今の場合、実際にy'+a(x)y=b(x)にA=A(x)とし、y(x)=A(x)e^{-∫a(x)dx}を代入して計算すればA(x)=∫b(x)e^{∫a(x)dx}+C(Cは新たな任意定数であり、此方は定数のままで良い)と具体的に函数A(x)が求まる訳であるので、これを用いれば一般解が得られる訳である。定数変化法は1階非同次線形常微分方程式以外にも1階非線形常微分方程式や高階(2回微分や3回微分等の項が有る場合)常微分方程式の解を求める際にも役立つことが有る。これらのことも例題を通して考えて行く。
9タイトルBernoulliの微分方程式とRiccatiの微分方程式
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容前回は変数係数1階非同次線形常微分方程式y'+a(x)y=b(x)の(Lagrangeの)定数変化法による解法や1階非線形常微分方程式や高階(2回微分や3回微分等の項が有る場合)常微分方程式の解を求める際にも役立つことを紹介した。ここでは有名な1階非線形常微分方程式として「Bernoulliの微分方程式」y'=a(t)y+b(t)y^n(n≠0,1)(b(t)y^nが非線形項)及び「Riccatiの微分方程式」y'=a(t)+b(t)y+c(t)y^2(c(t)y^2が非線形項)の解法を紹介する。まずBernoulliの微分方程式y'=a(t)y+b(t)y^n(n≠0,1)だが、これは非線形項b(t)y^nの内のyのn乗部分に着目し、従属変数y(t)の変数変換u=y^{1-n}を行い新たな従属変数u(t)の常微分方程式に書き換えれば、uの1階非同次線形常微分方程式に置き換わることが分かる。従って必ず解ける。つまり非線形方程式であるBernoulliの微分方程式が線形方程式に置き換わる。この様な変数変換の手続きを「線形化」と言うことも覚えて置くと良い。1階非同次線形常微分方程式は必ず解けることから、結論としてはBernoulliの微分方程式も必ず求積可能である。尚、以前Verhulstモデル(ロジスティック方程式)を紹介したがこれもBernoulliの微分方程式の例の1つである。ではRiccatiの微分方程式y'=a(t)+b(t)y+c(t)y^2は如何か。結論から言えば一般には求積不能である。然し解ける場合も有る。どんな場合か。仮にy'=a(t)+b(t)y+c(t)y^2を満たす様な函数y_1(t)が1つでも見付かればBernoulliの微分方程式に帰着させることが出来る。この様な函数y_1(t)をRiccatiの微分方程式の「特殊解」と言う。特殊解y_1を用いた従属変数y(t)の変数変換u=y-y_1を行うことでuに関するBernoulliの微分方程式(でn=2の場合)が得られる。Bernoulliの微分方程式は必ず解けるので、特殊解が分かった状態でのRiccatiの微分方程式は解けることになる。しかしながら1つの特殊解y_1を見付けるのは一般には困難である。他方、この様に特殊解を1つ見出して変数変換の下、求積する以外にも、タイプによっては変数分離法を援用することで解ける場合も存在する。これらのことを例題を通じて考えて行く。
10タイトル階数低下法と高階常微分方程式（及び発展学習としてのRiccatiの微分方程式と2階同次線形常微分方程式）
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容前回はBernoulliの微分方程式y'=a(t)y+b(t)y^n(n≠0,1)(b(t)y^nが非線形項)及びRiccatiの微分方程式y'=a(t)+b(t)y+c(t)y^2(c(t)y^2が非線形項)の解法を紹介した。共に変数変換が大事であった。特に一般的に言ってRiccatiの微分方程式は求積不能だが特殊解が1つ分かっている状況であればBernoulliの微分方程式に帰着させることが出来、1階線形常微分方程式に置き換えることにより必ず解けた。ここでは微分の階数が多い場合の線形常微分方程式の話を徐々に始めて行く。例えば高階線形常微分方程式の1例として2階の場合であれば「単振動の運動方程式」x''+ω^2(x-x_0)=0が有る。壁に自然長x_0[m]バネ定数k[N/m]の一様なバネを介して質量m[kg]の質点が連結されている状況を考える。この質点をx軸正の向きに力F[N]で引っ張ると、当然幾らかバネは伸びる(x[m]まで伸びたとする。従って伸び(変位と言っても良い)自体はx-x_0[m])。然し何時までも伸び続ける訳ではなく、力F[N]による質点への作用に対する復元力k(x-x_0)[N]による反作用が有る。これを「作用・反作用の法則」あるいは「Newtonの第3法則」と呼んだ。復元力k(x-x_0)[N]はF[N]に対して逆向きに働き、バネの復元力(元の状態に戻ろうとする力)は-k(x-x_0)[N]となる。よってF=-k(x-x_0)となる。バネが伸びれば伸びる程、対応する復元力は変位に1次函数的に比例して増大する。つまりある所まで伸びた時にはバネは逆に縮む方向に質点を変位させる。ある所まで縮めば逆に、再度バネは伸びに転じる。これを繰り返す訳だが、この現象を「単振動」と言った。「Newtonの第2法則」によれば(力)=(質量)×(加速度)でありこの関係式を「Newtonの運動方程式」と言った。加速度をα[m/s^2]とすると運動方程式はF=m・αとなる。加速度について少し復習する。まず速度vとは単位時間当たりどれだけ変位したかを表す物理量である。即ち1[s]当たり何[m]変化したかが速度v[m/s]である。微分を用いて表せばv=dx/dtとなる。加速度αとは単位時間当たりどれだけ速度が変化したかを表す物理量であり、1[s]当たり速度が何[m/s]変化したかが速度α[m/s^2]である(自動車のアクセルやブレーキを掛けることに相当)。微分を用いて表せばα=dv/dt=d^2x/dt^2となる。従って単振動の運動を表す運動方程式はF=m・d^2x/dt^2となる。一方F=-k(x-x_0)から単振動の運動方程式m・x''=-k(x-x_0)が得られる。ω[1/s](=[Hz])は角振動数(角周波数)であり、ω^2=k/mであることを用いればx''+ω^2(x-x_0)=0が出る。この2階同次線形常微分方程式の解x(t)は各時間t[s]毎の質点の位置[m]を表す。仮に特殊解が1つ分かっていれば変数変換を巧く行うことで1階線形常微分方程式に置き換えることが出来、必ず解ける。
11タイトル包絡線とClairautの微分方程式（及び発展学習としてのd'Alembertの微分方程式）
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容Clairautの方程式の話を行う。Clairautの方程式は非線形の常微分方程式であるがものの見事に、然も思いの他簡単に解けてしまう例である。この解の幾何形状を考えるためにまず「包絡線」の復習から始める。「陰函数定理」、「全微分」、「パラメタ曲線に対する接線の方程式」等の詳細は微分積分学の教科書や参考書等を適宜自習・復習しておくこと。？^2の領域D上1回連続微分可能な函数f=f(x,y)を考える(このことをf∈C^1(D)と表し、fはD上C^1-級の函数と言う)。この2変数函数fに対する方程式f(x,y)=0を満たす点(x,y)の集合はD上の曲線を表すことは陰函数定理から分かる(ここは、ああそんな話か、でも良い)。この点(x,y)は方程式f(x,y)=0の解なのだから当然f(x,y)=0を満たす。ここで更にfの偏微分f_x=∂f/∂x,f_y=∂f/∂yに対し、f_x(x,y)=f_y(x,y)=0をも満たす時、この様な点(x,y)をfの「特異点」と呼び、特異点でない点を「通常点」と呼ぶ。fの仮定からD上C^1-級であったので全微分が取れて、fの全微分はdf(x,y)=f_x(x,y)・dx+f_y(x,y)・dyであり、f(x,y)=0からdf(x,y)=0となる。このことからf_x(x,y)・dx=-f_y(x,y)・dyが出る。仮に点(x,y)が(特異点でない)通常点であればf_x(x,y)≠0またはf_y(x,y)≠0である。例えばf_x(x,y)≠0の場合、dx/dy=-(f_y)/(f_x)であり、通常点(x,y)における傾きdx/dy(=-(f_y)/(f_x))の接線が存在することになる。他方、f_y(x,y)≠0の場合も同様に通常点(x,y)における傾きdy/dx(=-(f_x)/(f_y))の接線が存在することも分かる。つまり、通常点ではf_x,f_yの内少なくとも一方はゼロではないので接線が定まることになる。即ち「特異点では接線が定まらない」。C^1-級の函数f=f(x,y:α)からなるパラメタαの曲線Γ_α:f(x,y:α)=0をαについて全て集めた集合{Γ_α}をパラメタαに関する「曲線群」(「曲線族」とも言う)。αを固定する毎にxとyの関係を表す曲線が定まり、逆にパラメタαを連続的に変化させれば対応する曲線Γ_α:f(x,y:α)=0の位置や形もαに応じて連続的に変化し1つの曲線群{Γ_α}が定まる。今{Γ_α}をΓ_α:f(x,y:α)=0で定まるパラメタαの曲線群{Γ_α}とする。1つの曲線Eが曲線群{Γ_α}の「包絡線」であるとは、Eが各曲線Γ_αに接し、Eの各点がその接線の軌跡になっているもののことを言う。ややこしく聞こえるが具体例で考えれば良い。例えば曲線として点(α,1)中心で半径1の円Γ_α:f(x,y:α)=(x-α)^2+y^2-1=0を考え、パラメタαの円の族{Γ_α}を考えて見る。パラメタαは実数？全体(早い話がx軸)を動くとする。実際にαをx軸上動かして見ると直線y=±1が対応する包絡線だと分かる(図を描家考えること)。上記を踏まえた上で「Clairautの微分方程式」を考える。具体的にはy=x・dy/dx+f(dy/dx)の形を取り一般的に言って非線形の常微分方程式である。この一般解を求めるのは容易くxで微分すればy'=y'+xy''+f'(y')y''から{x+f'(y')}y''=0が出る。即ちy''=0またはx+f'(y')=0となる。y''=0の時、積分すれば任意定数Cを用いてy'=Cとなるので一般解はy(x)=Cx+f(C)となる。他方x+f'(y')=0の場合、元の方程式y=xy'+f(y')と連立させてy'を消去すれば更に一般解以外の解(これを「特異解」と言う)が得られる。
12タイトル高階線形常微分方程式の一般解
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここでは再度、線形の常微分方程式に話を戻す。但し線形であっても微分の階数が多い未知函数を含む一般的な場合、即ち「高階線形常微分方程式」の分類、一般解の定義や数学的性質について論じる。まず、例えば高階線形常微分方程式としてx'''+x=b(t)(tは独立変数x=x(t)は従属変数であり未知函数でもある)は第1項目はxの3回微分であるので、この項の階数は3、第2項目はxであり0回微分なので0階の項、右辺のb(t)は外力項(非同次項、非斉次項とも)と呼ばれる既知の函数である。今の場合、方程式に現れる最高階の係数は第1項目の3であるので3階線形常微分方程式となる。特にb(t)=0の場合、「同次線形(斉次線形)」、b(t)≠0の場合「非同次線形(非斉次線形)」の方程式、と言う。例として、x''+x'-3x=t^2は2階非同次線形常微分方程式である。高階線形常微分方程式として、より一般にはx^(n)+a_1・x^(n-1)+a_2・x^(n-2)+・・・+a_(n-1)・x'+a_n・x=b(t)(「n階線形常微分方程式」と言う)を考えることになる。係数a_1,a_2,・・・,a_(n-1),a_nの全てが定数(複素数の場合もアリ)であれば「定数係数」の方程式、そうでなく、これらの係数の内少なくとも1つは独立変数tに依存した函数である場合、「変数係数」の方程式、と言う。例えば-x''+(1+t^2)x'-3x=t^2は変数係数2階非同次線形常微分方程式である。解の性質について考える。同次線形常微分方程式に仮に、2つの解x_1(t),x_2(t)が有ったとする。この時、C_1,C_2を勝手な定数(任意定数)として、2階の1次結合(線形結合とも)C_1x_1(t)+C_2x_2(t)を考えると、実はこれも解になる。このことを「重ね合わせの原理」と呼び、非常に重要である(記憶に値する)。但し、たとえ線形であったとしても非同次の場合にはこの様なことは一般には成立しない点に注意する。n階線形常微分方程式の解で方程式の階数(この場合n階なので階数はn)と本質的に同じだけの任意定数を含む様な解を「一般解」、一般解に現れる個々の任意定数の一部または全てに具体的な値が代入されている解を「特殊解(特解とも)」と言う。例えば定数係数2階同次線形常微分方程式x''+x=0の一般解はC_1・cost+C_2・costと表される(各自で復習すること)が、-sint+3cost等は特殊解となる。線形常微分方程式の場合、一般解はその方程式の解全てを表現し切るのに対し、非線形常微分方程式の場合には一般解と言えど、解の全てを表す訳ではない点にも注意する。例えばClairautの微分方程式の一般解以外の解として特異解が有ったこと等を思い出せば良い。先程、n階線形常微分方程式の一般解には「本質的に」n個の任意定数が含まれている、と言ったが、この意味は何か。意味する所はn個の任意定数が「見かけ上」含まれている解に適当な式変形を施した時、nより少ない任意定数で良いことが分かるような場合には、一般解とは言わない、と言うことである。
13タイトル微分演算子と定数係数高階同次線形常微分方程式
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容ここからは定数係数の高階同次線形常微分方程式の解法、更には方程式及び解の性質について探って行く。定数係数の線形常微分方程式に対しては「演算子法(「記号解法」とも)」と呼ばれる手法が大変役立つ。演算子法とは大雑把に言えば、微分記号d/dt(あるいはd/dx,d/dy等)を記号Dと略記してあたかも掛け算や割り算の様な代数演算がある程度成立することを利用して微分方程式を解くことである。この様な記号D:=d/dt(あるいはd/dx,d/dy等)を「微分演算子(「微分作用素」とも)」と呼ぶ。つまり、函数を微分すれば、一般には微分する前の函数とは全く異なった函数が出来上がる。即ち「Dを函数に左から作用させる」ことを「Dを函数に左から"掛け算"させる」と読み替えれば、Dは函数に左から"掛け算"させることで何か別の新しい函数を作り出す機能である、とも言える。D^nはn回微分することであり、D^mはm回微分することであるので、D^n・D^m=D^(n+m)=D^(m+n)=D^m・D^n(m,n∈？)(「"指数"法則」と「交換法則」)が成り立っている。更に任意の複素数αを用いて(D±α)y(t):=Dy(t)±αy(t)とD±αを定義するとこれも何か新しい函数を作り出す機能であり、微分演算子の1つである。此方も(D±α)(D±β)=(D±β)(D±α)が成り立つことが分かり、交換法則が成り立っている。即ち、微分演算子同士では交換可能(可換)である。微分演算子はD±α以外にも、より広くDの"多項式"P(D)をも含む。例えばP(D)=D^n+a_1D^(n-1)+・・・+a_(n-1)D+a_n(但しa_1～a_nは全て複素定数)はDの"n次多項式"の形の微分演算子である。このP(D)でDの代わりにλと数を代入したP(λ)をλの「特性多項式」と言い、λのn次方程式P(λ)=0を「特性方程式」と呼ぶ。更に特性方程式の解(根とも)を「特性根」と呼ぶ。微分Dには「線形性」が有ったのでD^nにも線形性が有る。即ち、n∈？,D^n{αx(t)+βy(t)}=αD^nx(t)+βD^ny(t)(ここにα,β∈？)が成り立つ。このことから一般のDの多項式P(D)にも線形性n∈？,P(D){αx(t)+βy(t)}=αP(D)x(t)+βP(D)y(t)(α,β∈？)が有ることが分かる。更に微分演算子には「加法・減法・乗法」が定義出来、このことから「結合法則」、和と積に関する「交換法則」、「分配法則」が成り立つことも分かる。その上でP(D)=D^n+a_1D^(n-1)+・・・+a_(n-1)D+a_n(a_1,・・・,a_n∈？)に対し、3つの重要公式「P(D+α)1=P(α)」、「P(D)e^(αt)=P(α)e^(αt)」、「P(D){e^(αt)φ(t)}=e^(αt)P(D+α)φ(t)」(但しα∈？でありφ=φ(t)は滑らかな函数)が成り立つことが示せる。これらを駆使することで定数係数高階同次常微分方程式の一般解が得られる。即ち定数係数k階同次常微分方程式(D-α)^kx=0(k∈？,α∈？)の一般解は、本質的にk個の任意定数c_0～c_(k-1)を用いて「x_h(t)=(c_0+c_1t+・・・+c_(k-1)t^(k-1))e^(αt)」と求まる。更に定数係数2n階同次常微分方程式(D^2+aD+b)^nx=0(a,b∈？,a^2-4b<0)の一般解は、対応する特性方程式(λ^2+aλ+b)^n=0の2つのn重解(n重根)をそれぞれα+iβ,α-iβ(α,β∈？)とすると「x_h(t)=(c_0+c_1t+・・・+c_(n-1)t^(n-1))e^(αt)cos(βt)+(d_0+d_1t+・・・+d_(n-1)t^(n-1))e^(αt)sin(βt)」と求まる。ここにc_0～c_(n-1),d_0～d_(n-1)は本質的に2n個任意定数である。
14タイトル微分演算子と高階同次線形常微分方程式の演習問題
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容前回は定数係数の高階同次線形常微分方程式の一般解の公式を演算子法を用いて導いた。その際に、種々の微分演算子D,D^n(n∈？),P(D)=D^n+a_1D^(n-1)+・・・+a_(n-1)D+a_n(但しa_1～a_nは全て複素定数)全てが線形性を有し、加法・減法・乗法が自然に定義出来た。またこのことからあたかも通常の数の様に結合法則、和と積に関する交換法則、分配法則が成り立つのであった。その上で3つの重要公式「P(D+α)1=P(α)」、「P(D)e^(αt)=P(α)e^(αt)」、「P(D){e^(αt)φ(t)}=e^(αt)P(D+α)φ(t)」(但しα∈？でありφ=φ(t)は滑らかな函数)を導いた。以上の微分演算子に関する扱いの習熟をここでは目指す。従ってここではまず微分演算子に関する演習を行う。例えばP(D^2)cosαtは計算すればどうなるか、等である(但し、念のためP(D)ではなくP(D^2)である)。それを求めるにはまず{D^(2n)}cosαtを計算する必要が有る。実際に余弦函数cosの微分を何度も実行すれば{D^(2n)}cosαt={(-α^2)^n}cosαtとなることが推定出来る。後は数学的帰納法を適用すれば任意のn∈？に対して「{D^(2n)}cosαt={(-α^2)^n}cosαt」が成り立つことが示せる。これを適用することで「P(D^2)cosαt=P(-α^2)cosαt」が得られる。同様に「P(D^2)sinαt=P(-α^2)sinαt」等も得られる。前回は定数係数k階同次常微分方程式(D-α)^kx=0(k∈？,α∈？)の一般解が「x_h(t)=(c_0+c_1t+・・・+c_(k-1)t^(k-1))e^(αt)」(但しc_0～c_(k-1)は本質的にk個の任意定数)となることや、定数係数2n階同次常微分方程式(D^2+aD+b)^nx=0(a,b∈？,a^2-4b<0)の一般解が「x_h(t)=(c_0+c_1t+・・・+c_(n-1)t^(n-1))e^(αt)cos(βt)+(d_0+d_1t+・・・+d_(n-1)t^(n-1))e^(αt)sin(βt)」(但しc_0～c_(n-1),d_0～d_(n-1)は本質的に2n個任意定数であり、α,βは対応する特性方程式(λ^2+aλ+b)^n=0の2つのn重解(n重根)それぞれα+iβ,α-iβ(α,β∈？)に現れる数)となることまで導いた。従ってこれら一般解の公式を用いて具体的に定数係数の高階同次線形常微分方程式の例題を解くことまで行う。
15タイトル逆演算子と定数係数高階非同次線形常微分方程式
事前学習
事後学習		復習を確り行うこと。
授業内容これまで定数係数の高階同次線形常微分方程式の一般解を求めて来た。高階即ちn階同次線形常微分方程式は微分演算子P(D)=D^n+a_1D^(n-1)+・・・+a_(n-1)D+a_n(但しa_1～a_nは全て複素定数)を用いてP(D)x=0と表現することが出来る。常微分方程式の一般論として同次方程式(つまり右辺に外力項b(t)が無い場合)では解には重ね合わせの原理が成り立つのであった。但しb(t)が右辺に現れる非同次方程式では一般にこのことは成り立たなかった。n階非同次線形常微分方程式P(D)x=b(t)の一般解x_g(t)は、この特殊解x_p(t)及び余函数(即ち対応する同次方程式P(D)x=0)の一般解x_h(t)との和で表されるのであった。つまり「(非同次方程式の一般解)=(非同次方程式の特殊解)+(対応する同次方程式の一般解(余函数))」であり「x_g(t)=x_p(t)+x_h(t)」であったことを思い出して置く。余函数の求め方は前回までの内容であり、従って高階非同次線形常微分方程式の一般解を求めたければ特殊解を求めれば良いことになる。今まで微分演算子の性質として加法・減法・乗法が有ったが、「除法(割り算)」については述べなかった。その除法を定義し、巧く用いることで非同次方程式の特殊解を得ようと言うものである。非同次方程式P(D)x=b(t)の特殊解x_p(t)は方程式の両辺にP(D)の「逆演算子(「逆作用素」、「積分演算子」とも)」P(D)^{-1}=1/P(D)を左から作用させてx_p(t)=P(D)^{-1}b(t)={1/P(D)}b(t)と求めたい訳である。然し具体的に逆演算子はどんなものか。微分演算子Dに対してはその逆演算子はD^{-1}=1/D=∫・dt(通常の積分)で良い。但し積分定数は無しとして扱うものと約束する。具体的にはD^{-1}t={1/D}t=∫tdt=(1/2)t^2(積分定数Cは無し),D・D^{-1}t=D・{1/D}t=(d/dt)∫tdt=(1/2)(d/dt)t^2=t,D^{-1}cost=sint等である。更に、(D+α)^{-1}については(D+α)x=x'+αx=b(t)の一般解がx_g(t)=e^{-αt}∫e^{αt}b(t)dt+Ce^{-αt}となり、余函数(対応する同次方程式(D+α)x=0の一般解)はx_h(t)=Ce^{-αt}であり、非同次方程式の特殊解がx_p(t)=e^{-αt}∫e^{αt}b(t)dtとなることから、x_p(t)=(D+α)^{-1}b(t)={1/(D+α)}b(t)=e^{-αt}∫e^{αt}b(t)dtと分かる。即ち逆演算子をP(D)x_p(t)=b(t)に対して「x_p(t)=P(D)^{-1}b(t)={1/P(D)}b(t)」と定義する。逆演算子にも幾つか記憶すべき公式が有る。微分演算子の公式P(D+α)1=P(α), P(D)e^(αt)=P(α)e^(αt), P(D){e^(αt)φ(t)}=e^(αt)P(D+α)φ(t)(但しα∈？でありφ=φ(t)は滑らかな函数)と同様にして「{1/P(D+α)}1=1/P(α)」、「{1/P(D)}e^(αt)={1/P(α)}e^(αt)」、「{1/P(D)}{e^(αt)φ(t)}=e^(αt){1/P(D+α)}φ(t)」(「指数通過定理」と呼び、α∈？でありP(α)≠0)が重要公式として得られる。これらの公式を駆使することで非同次方程式の特殊解が得られる。更に、これらの公式以外にもb(t)がtの多項式である場合にはb(t)をP(D)で実際に割り算の筆算を適用する「山辺の方法」が有ること、逆演算子の「展開公式」に関しても考える。
＜備考＞
(未登録)