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授業科目名
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幾何学特論
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時間割番号
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544031
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担当教員名
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武藤 秀夫
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開講学期・曜日・時限
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前期・金・I
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単位数
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2
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＜対象学生＞
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1・2年
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＜授業の目的および概要＞
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古典的な曲面論において最も重要なガウス・ボンネの定理を学ぶ。曲面の曲がり具合を表すガウス曲率は局所的には様々に変化するが、ガウス・ボンネの定理は、閉曲面上でのその積分値は変化せず、曲面の大域的な性質を表すことを示している。<BR>線積分、曲面上の積分を、外微分形式やStokes の定理を通して微分積分学や線形代数学の発展・応用として捉える。また、曲面上の自然な微分である共変微分や局所的には最短な測地線、更に、曲面上の比較定理についても学ぶ。<BR>最後に、ガウス・ボンネの定理の応用として、非ユークリッド幾何学におけるいくつかの性質についても学ぶ。
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＜到達目標＞
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簡単な具体例を通じて基本的な概念および考え方を理解する.
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＜授業の方法＞
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一般論を講義したあと具体例において定理等を適用、計算し、実習もまじえる.
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＜成績評価の方法＞
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| No | 評価項目 | 割合 | 評価の観点 |
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| 1 | 試験：期末期 | 40 % | 具体例(の計算)を通じて基本的な概念および考え方が理解できているかを判定 | | 2 | 試験：中間期 | 40 % | 具体例(の計算)を通じて基本的な概念および考え方が理解できているかを判定 | | 3 | 小テスト／レポート | 20 % | 具体例(の計算)を通じて基本的な概念および考え方が理解できているかを判定 |
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＜受講に際して・学生へのメッセージ＞
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大学での微分積分学、線形代数学を履修済みであること。
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＜テキスト＞
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- 小林昭七, 曲線と曲面の微分幾何学, 裳華房, ISBN:4-7853-1091X
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＜参考書＞
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- Alfred Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, CRC Press
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＜授業計画の概要＞
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毎回、具体例を挙げる。時々、Mathematicaなどを用いて曲面の簡単な描画方法も解説する。<BR><BR>１ 序論とベクトル空間上の交代形式<BR>２ 曲面の基本概念（１）<BR>３ 曲面の基本概念（２）<BR>４ 曲面上の外微分形式<BR>５ Greenの定理（微分積分より）<BR>６ 平面上の積分定理と等周不等式<BR>７ まとめ（中間）<BR>８ 向き付け可能曲面と曲面上のStokesの定理<BR>９ 共変微分と測地線（１）<BR>10 共変微分と測地線（２）<BR>11 曲面上の簡単な比較定理<BR>12 Gauss-Bonnet の定理（１）<BR>13 Gauss-Bonnet の定理（２）<BR>14 Gauss-Bonnet の定理の応用と非ユークリッド幾何学 <BR>15 まとめ
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